La topologie asymétrique — l'étude des espaces où la distance de x à y peut différer de la distance de y à x — est un coin restreint et actif des mathématiques. La semaine couvre les résultats centraux (espaces quasi-métriques, métriques bipolaires, théorèmes de point fixe en cadre asymétrique, connexions aux boules formelles et à la weightability), et les applications qui justifient l'attention continue portée au domaine : sémantique dénotationnelle en informatique théorique, apprentissage de similarité en ML, et théorie de l'approximation.
L'école est de posture et de ton académiques. Les matinées sont des cours, les après-midi des sessions de travail avec feuilles d'exercices, les soirées sont ouvertes à la collaboration. Nous attendons de chaque participant qu'il reparte avec au moins une question ouverte sur laquelle il compte travailler, et idéalement avec un co-auteur.
Aperçu du programme
Une semaine résidentielle à Cotonou, co-organisée avec un département de mathématiques partenaire. Cours le matin, sessions de problèmes l'après-midi. Pilote : Y. U. Gaba, qui publie régulièrement dans ce domaine et co-signe avec plusieurs figures seniors de la topologie asymétrique. Co-organisateurs : un topologue senior d'un département de mathématiques partenaire, nommé quatre semaines avant l'école. Chaque cohorte a des intervenants invités ; AIRINA prend en charge les honoraires.
Cohorte de ~12 participants, sur dossier. Liste de lectures envoyée 6 semaines avant. Feuille d'exercices pré-école facultative. Bourses au besoin pour doctorants africains.
Structure du programme
- Jour 1. Espaces quasi-métriques et à métrique partielle — définitions, exemples motivants, topologie standard induite, T0, T1, espaces sobres dans ce cadre.
- Jour 2. Espaces métriques bipolaires — définitions, complétude à deux pôles, théorèmes de point fixe pour applications contractantes. Travaux publiés du directeur ; problèmes ouverts.
- Jour 3. Théorie du point fixe en cadre asymétrique — Banach reformulé ; contractions de type Ćirić, Reich, Kannan. Session de problèmes communs.
- Jour 4. Complexité asymétrique et applications à l'informatique théorique — quasi-métrique de Schellekens, boules formelles, complétion de Smyth, sémantique dénotationnelle.
- Jour 5. Applications au ML et ce qui reste ouvert — apprentissage de similarité asymétrique, plongements type KL, représentations de graphes orientés. Exposés finaux.
Évaluation
L'école délivre un certificat de présence. Les participants qui le souhaitent peuvent soumettre une note de recherche écrite (5–10 pages) dans les trois mois suivant l'école ; les enseignants d'AIRINA fournissent un retour écrit. Plusieurs notes passées sont devenues des articles communs avec l'unité.
Certificat
L'école est académique, non notée — la valeur réside dans les conversations et le réseau. Délivrance d'une attestation école de recherche · académique.
Acquis pédagogiques
À l'issue du programme, les participants sauront :
- Définir les espaces quasi-métriques, bipolaires et à métrique partielle, et expliquer quand chacun est le cadre approprié pour un problème donné.
- Démontrer un théorème de point fixe en cadre asymétrique à partir de zéro, en identifiant le rôle de la complétude et de la condition de contraction.
- Relier la topologie asymétrique à la sémantique dénotationnelle via les boules formelles et la complétion de Smyth.
- Identifier un problème concret d'apprentissage automatique (par ex. apprentissage de similarité dirigée) où les outils asymétriques donnent une formulation plus nette que le défaut symétrique.
- Lire un article ouvert du domaine et rédiger une fiche critique d'une page.
Programme détaillé
Définitions, exemples motivants, topologie standard induite par une quasi-métrique. T0, T1, espaces sobres dans ce cadre. Résultats sélectionnés de l'école de Künzi et de la tradition espagnole.
Définition (Mutlu & Gürdal et la littérature ultérieure), exemples, propriétés. Complétude à deux pôles, théorèmes de point fixe pour applications contractantes. Travaux publiés du directeur dans ce domaine ; problèmes ouverts actuels.
Principe de Banach reformulé ; contractions de type Ćirić, Reich, Kannan en cadre quasi-métrique et bipolaire. Techniques de preuve et rôle des conditions de complétude asymétrique. Session de problèmes communs.
La quasi-métrique de complexité de Schellekens ; boules formelles et complétion de Smyth ; sémantique dénotationnelle des langages de programmation avec effets. Là où l'asymétrie est essentielle plutôt qu'incidente.
Apprentissage de similarité asymétrique, plongements de type divergence de KL, représentations de graphes orientés. Survol de problèmes ouverts adaptés à un projet de recherche d'un an. Exposés finaux : chaque participant présente un problème qu'il compte ramener.
À qui s'adresse cette formation
Cette école de recherche s'adresse aux mathématiciens en activité et aux chercheurs voisins qui veulent une boîte à outils profonde sur l'asymétrie — et l'occasion de nouer des collaborations.
- Doctorants et post-doctorants en mathématiques travaillant en topologie, analyse, ou analyse fonctionnelle.
- Informaticiens théoriciens intéressés par la théorie des domaines, la sémantique dénotationnelle, ou les méthodes formelles.
- Chercheurs en ML à orientation mathématique voulant une boîte à outils plus profonde pour les problèmes de similarité / dissimilarité asymétrique.
Prérequis
- Topologie. Au niveau master/doctoral (point-set essentielle, algébrique utile).
- Analyse fonctionnelle. Jusqu'aux espaces métriques complets et au théorème de l'application contractante.
- Lecture mathématique. Aisance à lire des mathématiques de recherche. La semaine est dense en articles.
Sélection
Cohorte de ~12 participants, sur dossier. Nous demandons un CV, une déclaration de recherche d'une page, et (pour les doctorants) une lettre de votre directeur.
Brochure
La brochure détaillée de l'école (PDF, FR/EN) est envoyée sur demande — avec le programme jour par jour, les profils des intervenants et co-organisateurs, la liste des lectures préparatoires, et le calendrier de la cohorte.
Pour recevoir la brochure courante, écrivez à contact@airina.africa avec « Topologie asymétrique — demande de brochure » en objet. La brochure est mise à jour à chaque cohorte ; nous envoyons la version courante au moment de votre demande.